多人合作博弈中的收益分配问题与现实经济活动有着密切的联系，为了形成有效率的合作，关键是能够给出一个合理的收益分配方案。1953年，美国运筹学家沙普利采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先他归纳了三条合理的分配原则，即在n人合作博弈中，参与人i从n人联盟博弈获得的收益应当满足的基本性质，进而证明满足这些性质的合作博弈解是唯一存在的，同时给出了沙普利值的计算公式，从而解决了合作收益的分配问题。

（一）沙普利值的引入

有这样一个故事：约克和汤姆结伴旅游。约克和汤姆准备吃午餐。约克带了3块饼，汤姆带了5块饼。这时，有一个路人路过，路人饿了。约克和汤姆邀请他一起吃饭，路人接受了邀请。约克、汤姆和路人将8块饼全部吃完。吃完饭后，路人感谢他们的午餐，给了他们8个金币。路人继续赶路。

约克和汤姆为这8个金币的分配展开了争执。汤姆说：“我带了5块饼，理应我得5个金币，你得3个金币。”约克不同意：“既然我们在一起吃这8块饼，理应平分这8个金币。”约克坚持认为每人各4块金币。为此，约克找到公正的沙普利。

沙普利说：“孩子，汤姆给你3个金币，因为你们是朋友，你应该接受它；如果你要公正的话，那么我告诉你，公正的分法是，你应当得到1个金币，而你的朋友汤姆应当得到7个金币。”约克不理解。

沙普利说：“是这样的，孩子。你们3人吃了8块饼，其中，你带了3块饼，汤姆带了5块，一共是8块饼。你吃了其中的1/3，即8/3块，路人吃了你带的饼中的3-8/3=1/3；你的朋友汤姆也吃了8/3，路人吃了他带的饼中的5-8/3=7/3。这样，路人所吃的8/3块饼中，有你的1/3，汤姆的7/3。路人所吃的饼中，属于汤姆的是属于你的7倍。因此，对于这8个金币，公平的分法是：你得1个金币，汤姆得7个金币。你看有没有道理？”约克听了沙普利的分析，认为有道理，愉快地接受了1个金币，而让汤姆得到7个金币。

在这个故事中，我们看到，沙普利所提出的对金币的“公平的”分法，遵循的原则是：所得与自己的贡献相等。这就是沙普利值的意思。

（二）沙普利值的计算

计算公式如下所示：

φ _i （n，v）={∑R[v _i （s）-v _i-1 （s）]}/n!

其中，R是n个参与人的排列，R有n!个，s为R中的一个排列，v _i （s）为包括参与人i及在他之前的参与人集合组成的联盟的得益值，v _i-1 （s）为在他之前的参与人（不包括i）集合的联盟的得益值。通过上述定义，我们可以看到：

①v _i （s）-v _i-1 （s）是一种排列下参与人i的边际贡献；

②参与人的沙普利值为他对联盟的边际贡献之和除以各种可能的联盟组合，因此φ _i （n，v）≤V；

③所有的参与人的沙普利值之和为v；

④沙普利值φ _i （n，v）为期望贡献；

⑤沙普利值得到的前提是各博弈联盟形成的可能性是均等的。