纳什均衡存在性定理表示：每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡（纯策略的或混合策略的）。

纳什在他1950年的经典论文中，首先提出了他自己称为“均衡点”（ equilibrium point ）的纳什均衡概念，并且同时证明了在相当广泛的博弈类型中，混合策略意义上的纳什均衡是普遍存在的。

（一）纳什均衡存在性定理一

设有n个博弈方的博弈G={s ₁ ，…，s _n ;u ₁ ，…，u _n }中n是有限的，且s _i 均为有限集，则该博弈至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略（ Nash ，1950）。

注意：∑ _i 表示局中人i的混合策略集；∑=n×∑ _i 表示有n个博弈方的混合策略；空间∑ _i 相乘得到的n维向量空间，且∑=n×∑ _i 是一个有限n维向量空间上的非空的、有界的、闭的凸集。

之后学者们将纳什均衡的存在性定理扩展得到：

（二）纳什均衡存在性定理二

设有n个博弈方的博弈G={s ₁ ，…，s _n ;u ₁ ，…，u _n }中s _i 为欧氏空间上的一个非空的、有界的、闭的凸集，得益函数u _i （s）是连续的且对s _i 是拟凹的，那么一定存在一个纯策略的纳什均衡（ Debreu ，1952； Glicksberg ，1952； Fan ，1952）。

（三）纳什均衡存在性定理三

设有n个博弈方的博弈G={s ₁ ，…，s _n ;u ₁ ，…，u _n }，如果每个局中人i的纯策略集s _i 是欧氏空间上的一个非空的、有界的、闭的凸集，得益函数u _i （s）是连续的，那么，一定存在一个混合策略的纳什均衡（ Glicksberg ，1952）。

如果对每个这种策略组合，都可以找出由n个博弈方对它的最佳反应策略构成的一个或多个策略组合，这就形成了一个从上述乘积空间到它自身的一对多（ one-to-many ）的映射（ mapping ）。由于在引进混合策略以后，在期望得益的意义上得益函数都是连续函数，因此映射的图形是封闭的（闭集），且每个点在映射下的影像都是凸集；根据布鲁威尔（ Brouwer ）不动点定理或角谷（ Kakutani ）不动点定理可知，该映射至少有一个不动点，这个不动点就是一个纳什均衡策略组合。