一些被人们认为是真理的观点，让阿罗不可能性定理给打破了，它也让我们重新认识了公共选择与民主制度。

正当人们为了寻找“最优的公共选择原则”而奔波时，美国经济学家阿罗提出了他的看法——是否根本就不存在这种规则？倘若能够在理论上说明这一点，那么就彻底解决了这个一直没有答案的难题。因此，阿罗根据这一独特的思路进行苦心研究，他运用数理逻辑的分析工具，对社会决策与社会民主程序设计之间的关系进行了形式化的深入考察。

1951年，阿罗出版了他的重要作品《社会选择与个人价值》一书，其中他提出了著名的“阿罗不可能性定理”。由于阿罗在经济计量学与管理科学方面所做出的贡献，他与约翰·希克斯共同成为1972年的诺贝尔经济学奖获得者。

有关阿罗不可能性定理，经济学上是这样解释的：只要给出几个选择者都必然接受的前提条件，而在这些前提条件之下，在一般或者普遍意义之上，人们无法找到一套规则，在个人选择顺序的基础之上推导出来。就算在一般情况下，也无法从已知的各种个人偏好顺序中推导出统一的社会偏好顺序。

由此，我们进一步推导可知，在一般或者普遍意义上，不可能找到能确保每个选择者的福利只会增加而不会受损的社会规则，所有提出的民主选举制度，也许都会产生不民主的结果。可以说，投票悖论就是阿罗不可能性定理的一个具体方面，当这个定理第一次被提出时，在西方经济学界引起了轰动，它也被认为是近几十年来数学应用在社会科学上所取得的一项突出成就。同样是诺贝尔经济学奖获得者的保罗·萨缪尔森，曾这样评价这个定理，“它证明了探索完全民主的历史记录下的伟大思想，也是探索一种妄想、一种逻辑上的自相矛盾。如今，全世界的学者们——数学、政治、哲学与经济学——都在试图进行挽救，对数学与政治而言，这一发现就是1931年库尔特·哥德尔的数学逻辑不可能证明一致性定理”。

“阿罗不可能性定理”，是社会选择理论里最著名也是最受推崇的结论。首先来看一下何为社会选择，社会选择是相对于个人选择来说的，个人选择的中心是确定个人的偏好，就如同个人选出自己最喜欢的明星那样；而社会选择的中心是确定社会的偏好，也就是在选出社会政治、经济、文化以及道德等大事上面的方向。

在涉及到众多个人的不同意志的集体选择中，如何维持个人选择与社会选择之间的协调性？

大家都知道，少数服从多数原则是被现代社会所普遍接受的决策方法。洛克指出：“按照自然与理性的法则，大多数代表着全体的权力，所以大多数的行为被认为是全体的行为，也当然有决定权了。”不过我们应当清楚，许多东西就算在自然法学家那里实现了理论上想当然的正确，在社会选择理论里还是需要被证明是对的。

在数学上，社会选择可以这样表达：一个建立在全部个人的偏好上的函数。此函数的性质代表了一定的价值规范，例如帕累托最优性、公民主权、目标中性、全体性、无独裁性、匿名性等。社会选择面临的最关键的问题是怎样实现这些价值规范之间在逻辑上与现实中的协调。阿罗通过数学计算证明，根本就不存在同时满足以下四个基本原理的社会选择函数。

1．个人偏好的无限制性，对一个社会可能存在的一切状态，不能先排除任何逻辑上可能存在的个人偏好。

2．帕累托最优原则，一个方案对每个人都是最优的，就表示相对于社会偏好选择也是最优的。

3．非相关目标独立性，关于一对社会目标的社会偏好序不受其他目标偏好序变化的影响。

4．社会偏好的非独裁性，社会偏好并非靠独裁的方法来做出选择。

以上四个条件，是对一个理性群体在做出社会选择时的可排行规则的合理要求。阿罗曾经给出两个定理，分别阐述了方案数为2与不少于3的情况，满足理性条件的群体可排规则的存在性问题。这两个方案的可能性定理说明，当仅有两个方案可供选择时，不管各个体偏好序怎样选取，多数规则就是群体的可排规则，并且它同时满足帕累托原则、非独裁性条件、正相关性以及无关方案独立性。但是，在现实社会中，一般情况的不可能性定理证明了此种方案的不可行，当可供选择的方案不少于3个的时候，如果各个体偏好序可以没有限制地随意选取，那么同时满足四个条件的群体可排规则（1~4）就是不存在的。

当我们推崇将“少数服从多数”原则作为社会选择方式，而无法满足“阿罗的四个条件”，就会如同市场存在失灵那样，我们对公共选择的原则也会造成民主的失效，这是因为多数票原则的合理性具有一定的局限。